कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

चरण 1

योग को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

चरण 1.2

$k$ को $k$ से गुणा करें.

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

चरण 1.3

$- 2$ को $k$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

चरण 1.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

चरण 1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

चरण 1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

चरण 1.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

घातांक जोड़कर $k^{2}$ को $k$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.1

$k^{2}$ को $k$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.1.1

$k$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

चरण 1.5.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

चरण 1.5.1.1.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

चरण 1.5.1.2

$2$ को $k^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

चरण 1.5.1.3

घातांक जोड़कर $k$ को $k$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.3.1

$k$ ले जाएं.

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

चरण 1.5.1.3.2

$k$ को $k$ से गुणा करें.

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

चरण 1.5.1.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

चरण 1.5.2

$2 k^{2}$ में से $2 k^{2}$ घटाएं.

$k^{3} + 0 - 4 k$

चरण 1.5.3

$k^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$k^{3} - 4 k$

चरण 1.6

योग को फिर से लिखें.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

चरण 2

योग को छोटे योगों में विभाजित करें जो योग के नियमों के अनुकूल हों.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

चरण 3

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात $3$ वाले बहुपद के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

चरण 3.2

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$30$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

चरण 3.3.1.2

$30$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

चरण 3.3.1.3

$31$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

चरण 3.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$900$ को $961$ से गुणा करें.

$\frac{864900}{4}$

चरण 3.3.2.2

$864900$ को $4$ से विभाजित करें.

$216225$

चरण 4

$4 \sum_{k = 1}^{30} k$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

घात $1$ वाले बहुपद के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

चरण 4.2

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सामने वाले शब्द से गुणा करना सुनिश्चित करें.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$30$ और $1$ जोड़ें.

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

चरण 4.3.1.2

$30$ को $31$ से गुणा करें.

$- 4 (\frac{930}{2})$

चरण 4.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

चरण 4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

चरण 4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \cdot 930$

चरण 4.3.3

$- 2$ को $930$ से गुणा करें.

$- 1860$

चरण 5

योग के परिणाम जोड़ें.

$216225 - 1860$

चरण 6

$216225$ में से $1860$ घटाएं.

$214365$