कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

चरण 1

एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{k}$ और $a_{k + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

चरण 2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

चरण 2.2.2

${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ और ${(\frac{1}{2})}^{k}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ में से ${(\frac{1}{2})}^{k}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

चरण 2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

चरण 2.2.2.2.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = \frac{1}{2}$

चरण 3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$k$ के स्थान पर $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ में $0$ प्रतिस्थापित करें.

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

चरण 3.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

चरण 3.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

चरण 3.2.4

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

चरण 3.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$a = 4 \cdot 1$

चरण 3.2.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$a = 4$

चरण 4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

चरण 5.1.2

जोड़ना.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

चरण 5.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

चरण 5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.2

$2^{11}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.5

$2$ को $10$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.8

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1024}{1024}$ से गुणा करें.

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.9

$2$ और $\frac{1024}{1024}$ को मिलाएं.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.11.1

$2$ को $1024$ से गुणा करें.

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.11.2

$2048$ में से $1$ घटाएं.

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

चरण 5.5.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

चरण 5.6

$\frac{2047}{1024}$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 (\frac{2047}{1024})$

चरण 5.7

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$1024$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

चरण 5.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

चरण 5.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2047}{256}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2047}{256}$

दशमलव रूप:

$7.99609375$

मिश्रित संख्या रूप:

$7 \frac{255}{256}$