कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

चरण 1

$j$ के शुरुआती मान को $1$ के बराबर बनाने के लिए योग को विभाजित करें.

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

चरण 2

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग को छोटे योगों में विभाजित करें जो योग के नियमों के अनुकूल हों.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

चरण 2.2

$6 \sum_{j = 1}^{30} j$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात $1$ वाले बहुपद के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

चरण 2.2.2

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सामने वाले शब्द से गुणा करना सुनिश्चित करें.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

चरण 2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

$30$ और $1$ जोड़ें.

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

चरण 2.2.3.1.2

$30$ को $31$ से गुणा करें.

$6 (\frac{930}{2})$

चरण 2.2.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (3) \frac{930}{2}$

चरण 2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

चरण 2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 \cdot 930$

चरण 2.2.3.3

$3$ को $930$ से गुणा करें.

$2790$

चरण 2.3

$\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग में से गुणनखंड $- \frac{4}{3}$ .

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

चरण 2.3.2

घात $2$ वाले बहुपद के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

चरण 2.3.3

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

चरण 2.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$30$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

चरण 2.3.4.1.2

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.2.1

$30$ को $31$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

चरण 2.3.4.1.2.2

$2$ को $30$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

चरण 2.3.4.1.3

$60$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

चरण 2.3.4.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.1

$930$ को $61$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

चरण 2.3.4.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.2.1

$- \frac{4}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

चरण 2.3.4.2.2.2

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

चरण 2.3.4.2.2.3

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

चरण 2.3.4.2.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

चरण 2.3.4.2.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

चरण 2.3.4.2.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.3.1

$56730$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

चरण 2.3.4.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

चरण 2.3.4.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

चरण 2.3.4.2.4

$- 2$ और $\frac{18910}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

चरण 2.3.4.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.5.1

$- 2$ को $18910$ से गुणा करें.

$\frac{- 37820}{3}$

चरण 2.3.4.2.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{37820}{3}$

चरण 2.4

योग के परिणाम जोड़ें.

$2790 - \frac{37820}{3}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2790$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

चरण 2.5.2

$2790$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

चरण 2.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

चरण 2.5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

$2790$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{8370 - 37820}{3}$

चरण 2.5.4.2

$8370$ में से $37820$ घटाएं.

$\frac{- 29450}{3}$

चरण 2.5.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{29450}{3}$

चरण 3

$\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$j$ के प्रत्येक मान के लिए श्रंखला का प्रसार करें.

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

चरण 3.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

चरण 3.2.1.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$6 - \frac{4}{3}$

चरण 3.2.2

$6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

चरण 3.2.3

$6$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

चरण 3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

चरण 3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$6$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{18 - 4}{3}$

चरण 3.2.5.2

$18$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{14}{3}$

चरण 4

योगों को पाए गए मानों से बदलें.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

चरण 5.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 29450$ में से $14$ घटाएं.

$\frac{- 29464}{3}$

चरण 5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{29464}{3}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{29464}{3}$

दशमलव रूप:

$- 9821.\overline{3}$

मिश्रित संख्या रूप:

$- 9821 \frac{1}{3}$