कैलकुलस उदाहरण

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1 + x}{1 - x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1 + x}{1 - x}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x$ और $g (x) = 1 - x$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.5

$1 - x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.8

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.9

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.10.2

$1 + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.11

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.12

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

$1 + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.12.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.12.3

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.12.4

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 3.12.5

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ को $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उत्पाद नियम को $\frac{1 + x}{1 - x}$ पर लागू करें.

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

चरण 4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

चरण 4.2.3

$\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ और ${(1 - x)}^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

चरण 4.2.4

${(1 - x)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

चरण 4.2.4.2

${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

${(1 - x)}^{2}$ को $(1 - x) (1 - x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 - x) (1 - x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3.1.2

$- x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3.1.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3.1.7

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.3.2

$- x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

चरण 4.3.4

${(1 + x)}^{2}$ को $(1 + x) (1 + x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

चरण 4.3.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + x) (1 + x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

चरण 4.3.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

चरण 4.3.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

चरण 4.3.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

चरण 4.3.6.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

चरण 4.3.6.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

चरण 4.3.6.1.4

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

चरण 4.3.6.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

चरण 4.3.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

चरण 4.3.8

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

चरण 4.3.9

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

चरण 4.3.10

$x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

चरण 4.3.11

$2 x^{2} + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.11.1

$2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

चरण 4.3.11.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

चरण 4.3.11.3

$2 (x^{2}) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

चरण 4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

चरण 4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$