कैलकुलस उदाहरण

$y = {\sin (x)}^{\cos (x)}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{\cos (x)})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 3.1.1

${\sin (x)}^{\cos (x)}$ को $e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}]$

चरण 3.1.2

$\cos (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\sin (x))}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \cos (x) \ln (\sin (x))$ है.

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चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos (x) \ln (\sin (x))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x) \ln (\sin (x))$ से बदलें.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

चरण 3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \ln (\sin (x))$ है.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

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चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ को $\csc (x)$ में बदलें.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.6

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.7

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.8

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} ({\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.11

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

चरण 3.12

सरल करें.

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चरण 3.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x)) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

चरण 3.12.2

कोष्ठक हटा दें.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

चरण 3.12.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$