कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (1 + e^{2 x})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 1 + e^{2 x}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 + e^{2 x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{2 x}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

$e^{2 x}$ और $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

$2$ और $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \cdot 1$

चरण 4.5

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$