कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x + y}{x - y}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + y$ और $g (x) = x - y$ है.

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.5

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.6

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.7

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - y) (1 + y')$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.2.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x - y) (1 - y')$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.4.2

$- x (- y')$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.4.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.4.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.4.4

$- y (- y')$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.4.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.1.4.4.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.2

$x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.2.2

$x y' - y - y y'$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.2.3

$- y y'$ और $y y'$ जोड़ें.

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.2.4

$x y' - y + x y' - y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.3

$x y'$ और $x y'$ जोड़ें.

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.2.4

$- y$ में से $y$ घटाएं.

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.3

$2 x y' - 2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1

$2 x y'$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.3.2

$- 2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 3.8.3.3

$2 (x y') + 2 (- y)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दोनों पक्षों को ${(x - y)}^{2}$ से गुणा करें.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

चरण 5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

${(x - y)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

चरण 5.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

चरण 5.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

चरण 5.2.1.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.3.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

चरण 5.2.1.3.2

$x$ ले जाएं.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

चरण 5.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y' x$ घटाएं.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

${(x - y)}^{2}$ को $(x - y) (x - y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - y) (x - y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3.1.4

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.3.1.4.1

$y$ ले जाएं.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3.1.4.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3.1.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3.1.6

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3.2

$- x y$ में से $y x$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.3.2.1

$y$ ले जाएं.

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.3.2.2

$- x y$ में से $x y$ घटाएं.

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.1.2.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.2

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$y' x^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.2.2

$- 2 y' x y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.2.3

$y' y^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

चरण 5.3.2.4

$- 2 y' x$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

चरण 5.3.2.5

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

चरण 5.3.2.6

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

चरण 5.3.2.7

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

चरण 5.3.3

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

चरण 5.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

चरण 5.3.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

चरण 5.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$