कैलकुलस उदाहरण

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + y' + 0$

चरण 2.5

$1 + y'$ और $0$ जोड़ें.

$1 + y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2} + y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 3.5.2

$2 x + 2 y y'$ को $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 3.5.3

$2 x + 2 y y'$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 3.5.3.2

$2 y y'$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 3.5.3.3

$2 (x) + 2 (y y')$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दोनों पक्षों को $x^{2} + y^{2}$ से गुणा करें.

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.1.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.1.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.1.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1.1

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.1.1.2.1.2

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.1.1.2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.2.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.1.1.2.2.2

$x^{2}$ ले जाएं.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

$x^{2} + y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

चरण 5.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

चरण 5.2.2.1.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.3.1

$y$ ले जाएं.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

चरण 5.2.2.1.3.2

$2 x$ और $2 y' y$ को पुन: क्रमित करें.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

चरण 5.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y' y$ घटाएं.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

चरण 5.3.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

चरण 5.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2}$ घटाएं.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

चरण 5.3.3

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$y' x^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

चरण 5.3.3.2

$y' y^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

चरण 5.3.3.3

$- 2 y' y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

चरण 5.3.3.4

$y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

चरण 5.3.3.5

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

चरण 5.3.4

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + y^{2} - 2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + y^{2} - 2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 5.3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.1

$x^{2} + y^{2} - 2 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 5.3.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 5.3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.3.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 5.3.4.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 5.3.4.3.2

एक भिन्न में जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.3.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 5.3.4.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$