कैलकुलस उदाहरण

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

चरण 2.4

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} + \frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

चरण 3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

चरण 3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

चरण 3.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{π}{4}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y y' + 0$

चरण 3.3.2

$2 y y'$ और $0$ जोड़ें.

$2 y y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

फिर से लिखें.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

चरण 5.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

चरण 5.1.3

$1 + y'$ को $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

चरण 5.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y y'$ घटाएं.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

${(x + y)}^{2}$ को $(x + y) (x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + y) (x + y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.2.3.1.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.2.3.2

$x y$ और $y x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.3.2.1

$y$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.2.3.2.2

$x y$ और $x y$ जोड़ें.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

चरण 5.2.3

$- 2 y y'$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.4

$- 2 y y'$ और $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6.2.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.2.1

$y$ ले जाएं.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6.2.2.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6.2.3

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.3.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6.2.3.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.3.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6.2.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6.2.3.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.2.6.3

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

चरण 5.4

$y'$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

चरण 5.4.2

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

${y'}^{1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

चरण 5.4.2.2

$- 2 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

चरण 5.4.2.3

$- 2 y y' x^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

चरण 5.4.2.4

$- 4 y^{2} y' x$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

चरण 5.4.2.5

$- 2 y^{3} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

चरण 5.4.2.6

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

चरण 5.4.2.7

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

चरण 5.4.2.8

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

चरण 5.4.2.9

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

चरण 5.4.3

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ के प्रत्येक पद को $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ के प्रत्येक पद को $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

चरण 5.4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1

$1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

चरण 5.4.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

चरण 5.4.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$