कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{(x - 7) (x^{2} + 4 x)}{x^{3}})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = (x - 7) (x^{2} + 4 x)$ और $g (x) = x^{3}$ है.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

चरण 3.2

घातांक को ${(x^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

चरण 3.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x^{2} + 4 x)] - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x - 7$ और $g (x) = x^{2} + 4 x$ है.

$\frac{x^{3} ((x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ है.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.3

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4 \cdot 1) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ है.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.7

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) (1 + 0)) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.9.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x) \cdot 1) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.9.2

$x^{2} + 4 x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 3.4.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - (x - 7) (x^{2} + 4 x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

चरण 3.4.11

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.11.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

चरण 3.4.11.2

$x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.11.2.1

$x^{3} ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) - 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}}{x^{6}}$

चरण 3.4.11.2.2

$- 3 (x - 7) (x^{2} + 4 x) x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

चरण 3.4.11.2.3

$x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x)) + x^{2} (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{6}}$

चरण 3.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x^{6}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

चरण 3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} (x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

चरण 3.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}}{x^{4}}$

चरण 3.6

$x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

चरण 3.6.2

$x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x) + x (- 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x^{4}}$

चरण 3.7

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

चरण 3.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x ((x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x)}{x \cdot x^{3}}$

चरण 3.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 x^{- 1}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 3 (x - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x - 7) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 7) (2 x + 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (2 x + 4) - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x + 4) + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.2.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.2.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.2.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.2.1.3

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.2.1.4

$2$ को $- 7$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 7 \cdot 4 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.2.1.5

$- 7$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 14 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.2.2

$4 x$ में से $14 x$ घटाएं.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot - 7) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.3

$- 3$ को $- 7$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + 4 \frac{1}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.4

$4$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(- 3 x + 21) (1 + \frac{4}{x})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x (1 + \frac{4}{x}) + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 (1 + \frac{4}{x})) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x \cdot 1 - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.6.1.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 x \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6.1.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.6.1.2.1

$- 3 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + x \cdot - 3 \frac{4}{x} + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 3 \cdot 4 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6.1.3

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 \cdot 1 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6.1.4

$21$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + 21 \frac{4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6.1.5

$21 \frac{4}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.6.1.5.1

$21$ और $\frac{4}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{21 \cdot 4}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6.1.5.2

$21$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x - 12 + 21 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.6.2

$- 12$ और $21$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x + (- 3 x + 9 + \frac{84}{x}) x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x \cdot x + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.8.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.8.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 (x \cdot x) + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.8.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.8.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.8.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + \frac{84}{x} x}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.1.8.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{2} - 10 x - 28 + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.2

$2 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.3

$3 x^{2} - 10 x - 28 + 4 x - 3 x^{2} + 9 x + 84$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.3.1

$3 x^{2}$ में से $3 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 0 + 9 x + 84}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.3.2

$- 10 x - 28 + 4 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 10 x - 28 + 4 x + 9 x + 84}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.4

$- 10 x$ और $4 x$ जोड़ें.

$\frac{- 6 x - 28 + 9 x + 84}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.5

$- 6 x$ और $9 x$ जोड़ें.

$\frac{3 x - 28 + 84}{x^{3}}$

चरण 3.8.3.6

$- 28$ और $84$ जोड़ें.

$\frac{3 x + 56}{x^{3}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 56}{x^{3}}$