कैलकुलस उदाहरण

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = 4 t - 1$ और $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ है.

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{- 1}$ और $g (t) = 2 t - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 t - 2$ के रूप में सेट करें.

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t - 2$ से बदलें.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 t - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ है.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.3.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.3.5

चूंकि $t$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

चरण 3.3.7

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $4 t - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ है.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 3.3.8

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 3.3.9

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 3.3.10

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 3.3.11

चूंकि $t$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

चरण 3.3.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.12.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

चरण 3.3.12.2

$4$ को ${(2 t - 2)}^{- 1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$2 t - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1.1

$2 t$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.2.1.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.2.1.3

$2 (t) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.2.2

उत्पाद नियम को $2 (t - 1)$ पर लागू करें.

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.3.2

$4 {(t - 1)}^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.5.1

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.5.2

$2 {(t - 1)}^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.5.3

$4 t$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.5.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.5.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.6

$2$ और $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.8

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ और $t$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.9

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.9.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.9.2

$\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

चरण 3.4.2.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

चरण 3.4.2.12

$2 t - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.12.1

$2 t$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

चरण 3.4.2.12.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

चरण 3.4.2.12.3

$2 (t) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

चरण 3.4.2.13

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.13.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

चरण 3.4.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

चरण 3.4.2.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

चरण 3.4.2.14

$2$ और $\frac{1}{t - 1}$ को मिलाएं.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

चरण 3.4.3

$\frac{2}{t - 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{t - 1}{t - 1}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.4

प्रत्येक व्यंजक को ${(t - 1)}^{2}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$\frac{2}{t - 1}$ को $\frac{t - 1}{t - 1}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.4.2

$t - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.4.3

$t - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1.1

$- 2 t + 2 (t - 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1.1.1

$- 2 t$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.6.1.1.2

$2 (- t) + 2 (t - 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.6.1.2

$- t$ और $t$ जोड़ें.

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.6.1.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.6.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.7

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.8

प्रत्येक व्यंजक को $2 {(t - 1)}^{2}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.8.1

$\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.8.2

${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.10.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.10.2

$- 4$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$