कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.1.2.3

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.1.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.1.2.5.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = x^{2} + 6 (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$f' (x) = x^{2} + 12 x$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 12 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

चरण 1.2.1.2

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 2 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 2 x + 12 \cdot 1$

चरण 1.2.2.3

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 x + 12$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 x + 12$ है.

$2 x + 12$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 x + 12 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x + 12 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $12$ घटाएं.

$2 x = - 12$

चरण 2.3

$2 x = - 12$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 x = - 12$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 12}{2}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 12}{2}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 12}{2}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$- 12$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = - 6$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 6$ को $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 6$ से बदलें.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot {(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$- 6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot - 216 + 6 {(- 6)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.2.1

$- 216$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 72)) + 6 {(- 6)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 72) + 6 {(- 6)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 6) = - 72 + 6 {(- 6)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.3

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 6) = - 72 + 6 \cdot 36$

चरण 3.1.2.1.4

$6$ को $36$ से गुणा करें.

$f (- 6) = - 72 + 216$

चरण 3.1.2.2

$- 72$ और $216$ जोड़ें.

$f (- 6) = 144$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $144$ है.

$144$

चरण 3.2

$- 6$ को $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 6, 144)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 6, 144)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 6)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 6.1$ से बदलें.

$f'' (- 6.1) = 2 (- 6.1) + 12$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ को $- 6.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 6.1) = - 12.2 + 12$

चरण 5.2.2

$- 12.2$ और $12$ जोड़ें.

$f'' (- 6.1) = - 0.2$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.2$ है.

$- 0.2$

चरण 5.3

$- 6.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.2$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, - 6)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, - 6)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 6, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 5.9$ से बदलें.

$f'' (- 5.9) = 2 (- 5.9) + 12$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $- 5.9$ से गुणा करें.

$f'' (- 5.9) = - 11.8 + 12$

चरण 6.2.2

$- 11.8$ और $12$ जोड़ें.

$f'' (- 5.9) = 0.2$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $0.2$ है.

$0.2$

चरण 6.3

$- 5.9$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.2$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- 6, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- 6, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- 6, 144)$ है.

$(- 6, 144)$

चरण 8