कैलकुलस उदाहरण

$8 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

चरण 1

परिमेय घातांकों के साथ बाएँ पक्ष को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 4$

चरण 1.2

$\sqrt{y}$ को $y^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 4$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

चरण 3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.8

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.9

$8$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.11

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.12.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

चरण 3.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

चरण 3.3.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

चरण 3.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

चरण 3.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

चरण 3.3.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

चरण 3.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

चरण 3.3.8

$\frac{1}{2}$ और $y^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

चरण 3.3.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $y'$ को मिलाएं.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

चरण 3.3.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $y^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ घटाएं.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को $2 y^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.1.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

$- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y' = - 2 \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.2.1.1.2

$- 2$ और $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{- 2 \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.2.1.1.3

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.2.1.1.4

$\frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}}$ और $y^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{- 8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.2.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$