कैलकुलस उदाहरण

$\ln (x y) = e^{x + y}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

चरण 2.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

चरण 2.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

$x$ और $\frac{1}{x y}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

चरण 2.6.2.2

$\frac{x}{x y}$ और $y'$ को मिलाएं.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

चरण 2.6.2.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

चरण 2.6.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

चरण 2.6.2.4

$\frac{1}{x y}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

चरण 2.6.2.5

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

चरण 2.6.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.2.2

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x + y} (1 + y')$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$e^{x + y} (1 + y')$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

चरण 5.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

चरण 5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

चरण 5.1.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

$e^{x + y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

चरण 5.1.4.2

गुणनखंडों को $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

चरण 5.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y' e^{x + y}$ घटाएं.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.2

$- y' e^{x + y}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

चरण 5.2.3

$- y' e^{x + y}$ और $\frac{y}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

चरण 5.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

चरण 5.2.5

$y' - y' e^{x + y} y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$y'$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

चरण 5.2.5.2

${y'}^{1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

चरण 5.2.5.3

$- y' e^{x + y} y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

चरण 5.2.5.4

$y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

चरण 5.2.6

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

चरण 5.2.7

$\frac{1}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.8

प्रत्येक व्यंजक को $y x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.8.1

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.8.2

$\frac{1}{x}$ को $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.8.3

$y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.10.2

$y'$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.10.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.10.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

चरण 5.2.11

गुणनखंडों को $\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

चरण 5.3

दोनों पक्षों को $x y$ से गुणा करें.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

चरण 5.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1

$x y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

चरण 5.4.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

चरण 5.4.1.1.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.2.1

$y$ ले जाएं.

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

चरण 5.4.1.1.2.2

$- y' x y e^{x + y}$ ले जाएं.

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

चरण 5.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

गुणनखंडों को $e^{x + y} (x y)$ में पुन: क्रमित करें.

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

चरण 5.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

चरण 5.5.2

$y' x - y' x y e^{x + y}$ में से $y' x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$y' x$ में से $y' x$ का गुणनखंड करें.

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

चरण 5.5.2.2

$- y' x y e^{x + y}$ में से $y' x$ का गुणनखंड करें.

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

चरण 5.5.2.3

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ में से $y' x$ का गुणनखंड करें.

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

चरण 5.5.3

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

चरण 5.5.4

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ के प्रत्येक पद को $x (1 - y e^{x + y})$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ के प्रत्येक पद को $x (1 - y e^{x + y})$ से विभाजित करें.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 5.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 5.5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 5.5.4.2.2

$1 - y e^{x + y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 5.5.4.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 5.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 5.5.4.3.2

$x y e^{x + y} - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.2.1

$x y e^{x + y}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 5.5.4.3.2.2

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 5.5.4.3.2.3

$y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$