कैलकुलस उदाहरण

$y^{5} + x^{2} y^{3} = 1 + x^{4} y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{5} + x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{4} y)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{5} + x^{2} y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y^{3}$ है.

$5 y^{4} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$5 y^{4} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x)$

चरण 2.3.5

$3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 y^{4} y' + 3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

चरण 2.3.6

$2$ को $y^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{4} y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

चरण 3.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = y$ है.

$0 + x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 + x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$0 + x^{4} y' + y (4 x^{3})$

चरण 3.2.4

$4$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$0$ और $x^{4} y' + 4 y x^{3}$ जोड़ें.

$x^{4} y' + 4 y x^{3}$

चरण 3.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{4} y' + 4 x^{3} y$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = x^{4} y' + 4 x^{3} y$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{4} y'$ घटाएं.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - x^{4} y' = 4 x^{3} y$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y^{3} x$ घटाएं.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

चरण 5.3

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$5 y^{4} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4}) + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

चरण 5.3.2

$3 x^{2} y^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

चरण 5.3.3

$- x^{4} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

चरण 5.3.4

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

चरण 5.3.5

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

चरण 5.4

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ के प्रत्येक पद को $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ के प्रत्येक पद को $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

चरण 5.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{4 x^{3} y - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

चरण 5.4.3.2

$4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ में से $2 x y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1

$4 x^{3} y$ में से $2 x y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

चरण 5.4.3.2.2

$- 2 y^{3} x$ में से $2 x y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

चरण 5.4.3.2.3

$2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})$ में से $2 x y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$