कैलकुलस उदाहरण

$y^{5} + x^{2} y^{3} = 1 + y e^{x^{2}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{5} + x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + y e^{x^{2}})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{5} + x^{2} y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y^{3}$ है.

$5 y^{4} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$5 y^{4} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x)$

चरण 2.3.5

$3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 y^{4} y' + 3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

चरण 2.3.6

$2$ को $y^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + y e^{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$

चरण 3.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = y$ और $g (x) = e^{x^{2}}$ है.

$0 + y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$0 + y (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.3

$0 + y (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 + y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$0$ और $y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$ जोड़ें.

$y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$

चरण 3.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 e^{x^{2}} x y + e^{x^{2}} y'$

चरण 3.3.3

गुणनखंडों को $2 e^{x^{2}} x y + e^{x^{2}} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणनखंडों को $2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 x y e^{x^{2}} + y' e^{x^{2}}$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y' e^{x^{2}}$ घटाएं.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}}$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y^{3} x$ घटाएं.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

चरण 5.4

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$5 y^{4} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4}) + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

चरण 5.4.2

$3 x^{2} y^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

चरण 5.4.3

$- y' e^{x^{2}}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

चरण 5.4.4

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

चरण 5.4.5

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

चरण 5.5

$- 1 e^{x^{2}}$ को $- e^{x^{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

चरण 5.6

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ के प्रत्येक पद को $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ के प्रत्येक पद को $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} = \frac{2 x y e^{x^{2}}}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

चरण 5.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.6.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 x y e^{x^{2}}}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

चरण 5.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

चरण 5.6.3.2

$2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ में से $2 x y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.2.1

$2 x y e^{x^{2}}$ में से $2 x y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}}) - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

चरण 5.6.3.2.2

$- 2 y^{3} x$ में से $2 x y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}}) + 2 x y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

चरण 5.6.3.2.3

$2 x y (e^{x^{2}}) + 2 x y (- y^{2})$ में से $2 x y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y (e^{x^{2}} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$