कैलकुलस उदाहरण

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (π x) + \cos (π y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (π x) + \cos (π y)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

चरण 2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (π x) + \cos (π y)$ से बदलें.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (π x) + \cos (π y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)]$ है.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = π x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

चरण 2.3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

चरण 2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

चरण 2.4.3

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

चरण 2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = π y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $π y$ के रूप में सेट करें.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

चरण 2.5.2

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{3})$ है.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

चरण 2.5.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $π y$ से बदलें.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

चरण 2.6

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π y$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [y]$ है.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

चरण 2.7

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

चरण 2.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y')) = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ के प्रत्येक पद को $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ के प्रत्येक पद को $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ से विभाजित करें.

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

चरण 5.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

चरण 5.1.2.1.2

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y' = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

चरण 5.1.2.2

गुणनखंडों को $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ में पुन: क्रमित करें.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

चरण 5.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$0$ और $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

चरण 5.1.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1.2.1

$2 \sin (π x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 \cos (π y)}$

चरण 5.1.3.1.2.2

$2 \cos (π y)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))}$

चरण 5.1.3.1.2.3

$2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

चरण 5.1.3.1.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 \cdot 0}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

चरण 5.1.3.1.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{\sin (π x) + \cos (π y)}$

चरण 5.1.3.2

$0$ को $\sin (π x) + \cos (π y)$ से विभाजित करें.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $π \cos (π x)$ घटाएं.

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$

चरण 5.3

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ के प्रत्येक पद को $- π \sin (π y)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ के प्रत्येक पद को $- π \sin (π y)$ से विभाजित करें.

$\frac{- π y' \sin (π y)}{- π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

चरण 5.3.2.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

चरण 5.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

चरण 5.3.2.3

$\sin (π y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

चरण 5.3.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

चरण 5.3.3.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

चरण 5.3.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$

चरण 5.3.3.3

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$ को फिर से लिखें.

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

चरण 5.3.3.4

$\cos (π x)$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$y' = \frac{\cos (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (π y)}$

चरण 5.3.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1

$\cos (π x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

चरण 5.3.3.5.2

$\frac{1}{\sin (π y)}$ को $\csc (π y)$ में बदलें.

$y' = \cos (π x) \csc (π y)$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \cos (π x) \csc (π y)$