कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 4 - 3 x - x^{2}$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 - 3 x - x^{2}] - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - 3 x - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.4

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.6

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.7

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - (2 x)) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.9

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.11

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.12

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 (4 - 3 x - x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) + (- 2 \cdot 4 - 2 (- 3 x) - 2 (- x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (- 3 - 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

$- 3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.3.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.3.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.4

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.2.5

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.3

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 (x \cdot x)) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.5

$- 3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.6

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.6.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.6.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.6.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.1.7

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2

$- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$- 2 x^{3}$ और $2 x^{3}$ जोड़ें.

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2.2

$- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.3

$- 3 x^{2}$ और $6 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.4

$2 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$3 x^{2} - 6 x + 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2}) - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.2

$- 6 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.3

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.4

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.5

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

चरण 3.5.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 1$ है.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

चरण 3.6.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

चरण 3.6.3

उत्पाद नियम को $(x + 1) (x - 1)$ पर लागू करें.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.7

${(x - 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$