कैलकुलस उदाहरण

$y = (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 13 x^{2} - 26 x + 26$ और $g (x) = e^{- 7 x}$ है.

$(13 x^{2} - 26 x + 26) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 7 x$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 7 x$ के रूप में सेट करें.

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 7 x$ से बदलें.

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

चरण 3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.3.1

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

चरण 3.3.2

$- 7$ को $(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 7 \cdot ((13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $13 x^{2} - 26 x + 26$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26]$ है.

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

चरण 3.5

चूंकि $13$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $13 x^{2}$ का व्युत्पन्न $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (13 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

चरण 3.7

$2$ को $13$ से गुणा करें.

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

चरण 3.8

चूंकि $- 26$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 26 x$ का व्युत्पन्न $- 26 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [26])$

चरण 3.9

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [26])$

चरण 3.10

$- 26$ को $1$ से गुणा करें.

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 + \frac{d}{d x} [26])$

चरण 3.11

चूंकि $x$ के संबंध में $26$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $26$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 + 0)$

चरण 3.12

$26 x - 26$ और $0$ जोड़ें.

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- 7 (13 x^{2}) - 7 (- 26 x) - 7 \cdot 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 7 (13 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 7 (13 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

चरण 4.4

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.4.1

$13$ को $- 7$ से गुणा करें.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

चरण 4.4.2

$- 26$ को $- 7$ से गुणा करें.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

चरण 4.4.3

$- 7$ को $26$ से गुणा करें.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

चरण 4.4.4

$- 26$ को $e^{- 7 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) - 26 \cdot e^{- 7 x}$

चरण 4.4.5

$182 x e^{- 7 x}$ और $e^{- 7 x} (26 x)$ जोड़ें.

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चरण 4.4.5.1

$e^{- 7 x}$ ले जाएं.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} + 26 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} - 26 e^{- 7 x}$

चरण 4.4.5.2

$182 x e^{- 7 x}$ और $26 x e^{- 7 x}$ जोड़ें.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} - 26 e^{- 7 x}$

चरण 4.4.6

$- 182 e^{- 7 x}$ में से $26 e^{- 7 x}$ घटाएं.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 208 e^{- 7 x}$

चरण 4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 91 e^{- 7 x} x^{2} + 208 e^{- 7 x} x - 208 e^{- 7 x}$

चरण 4.6

गुणनखंडों को $- 91 e^{- 7 x} x^{2} + 208 e^{- 7 x} x - 208 e^{- 7 x}$ में पुन: क्रमित करें.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 208 e^{- 7 x}$