कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\frac{2 x}{x + 3})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{2 x}{x + 3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{2 x}{x + 3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{2 x}{x + 3}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{2 x}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

चरण 2

$\frac{2 x}{x + 3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

चरण 3

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{x + 3}{2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

चरण 3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{x + 3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ है.

$\frac{x + 3}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}])$

चरण 3.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2$ और $\frac{x + 3}{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

चरण 3.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

चरण 3.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x + 3}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

चरण 4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x + 3$ है.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.2

$x + 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.4

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.5

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.6.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.6.4

$0$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.6.5

$\frac{x + 3}{x}$ को $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.6.6

$3$ को $x + 3$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (x + 3)}{x {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.6.7

$x + 3$ और ${(x + 3)}^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.7.1

$3 (x + 3)$ में से $x + 3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.6.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.7.2.1

$x {(x + 3)}^{2}$ में से $x + 3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

चरण 5.6.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

चरण 5.6.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{x (x + 3)}$