कैलकुलस उदाहरण

$\ln (\sqrt{x y})$

चरण 1

$\sqrt{x y}$ को ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x y$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

चरण 11

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 12

घातांक जोड़कर ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

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चरण 12.1

${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 12.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 12.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 12.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{1}} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 13

$2 {(x y)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2 (x y)} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 14

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 15

पदों को सरल करें.

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चरण 15.1

$y$ और $\frac{1}{2 x y}$ को मिलाएं.

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 15.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 15.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 15.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 16

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 x} \cdot 1$

चरण 17

$\frac{1}{2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x}$