कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\ln (x))}^{\cos (x)}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 1.1

${(\ln (x))}^{\cos (x)}$ को $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}]$

चरण 1.2

$\cos (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \cos (x) \ln (\ln (x))$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos (x) \ln (\ln (x))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x) \ln (\ln (x))$ से बदलें.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \ln (\ln (x))$ है.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\ln (x)$ से बदलें.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 5

$\frac{1}{\ln (x)}$ और $\cos (x)$ को मिलाएं.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 7

$\frac{\cos (x)}{\ln (x)}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 8

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

चरण 9

सरल करें.

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चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

चरण 9.2

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}$ और $\frac{\cos (x)}{\ln (x) x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x)) (- \sin (x))$

चरण 9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \sin (x) \ln (\ln (x)) + \frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x}$