कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{a x}$ को ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = a x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $a x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $a x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.3

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.8.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.10

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.11

$\frac{1}{2}$ और ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.12

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $a$ को मिलाएं.

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 2.13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{a x}$ को ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 3.2

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 3.3

$\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ को ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = {(a x)}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.5

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $a x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x]))$

चरण 3.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

चरण 3.5.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $a x$ से बदलें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

चरण 3.6

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x])))$

चरण 3.7

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

चरण 3.8

घातांक को ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

चरण 3.8.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

चरण 3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

चरण 3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

चरण 3.9

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1)))$

चरण 3.10

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

चरण 3.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

चरण 3.12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1)))$

चरण 3.12.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1)))$

चरण 3.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1)))$

चरण 3.14

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a))$

चरण 3.15

$\frac{1}{2}$ और ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a))$

चरण 3.16

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $a$ को मिलाएं.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2})$

चरण 3.17

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 3.18

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ और ${(a x)}^{- 1}$ को मिलाएं.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a {(a x)}^{- 1}}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 3.19

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(a x)}^{- 1}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

चरण 3.20

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

चरण 3.21

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)})$

चरण 3.22

$a$ और $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उत्पाद नियम को $a x$ पर लागू करें.

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

चरण 4.2

उत्पाद नियम को $a x$ पर लागू करें.

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

चरण 4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $a^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

चरण 4.3.2

घातांक जोड़कर $a$ को $a^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$a$ को $a^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$a$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

चरण 4.3.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

चरण 4.3.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

चरण 4.3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

चरण 4.3.2.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

चरण 4.3.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 4.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}}$

चरण 4.3.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 4.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

चरण 4.3.7

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.3.8

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.3.9

घातांक जोड़कर $a$ को $a^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.9.1

$a$ को $a^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.9.1.1

$a$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.3.9.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.3.9.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.3.9.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.3.9.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$