कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 2} (x)$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin^{4} (x)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \cos^{- 2} (x)$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)] + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 2} (x) \cdot 1$

चरण 3.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)) + \cos^{- 2} (x) \cdot 1$

चरण 3.6

$\cos^{- 2} (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)) + \cos^{- 2} (x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)) + \cos^{- 2} (x)$

चरण 4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ को $\sec^{3} (x)$ में बदलें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \sec^{3} (x) \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ को $\sec^{2} (x)$ में बदलें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \sec^{3} (x) \sin (x)) + \sec^{2} (x)$

चरण 4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{3} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x)$

चरण 4.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (x)$ को फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

चरण 4.5.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (x)}$ पर लागू करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

चरण 4.5.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

चरण 4.5.4

$2 x \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1

$2$ और $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ को मिलाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + x \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

चरण 4.5.4.2

$x$ और $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ को मिलाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{x \cdot 2}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

चरण 4.5.5

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \cdot x}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

चरण 4.5.6

$\frac{2 x}{\cos^{3} (x)}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x)$

चरण 4.5.7

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (x)$ को फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

चरण 4.5.8

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (x)}$ पर लागू करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.5.9

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$\cos^{3} (x)$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.2

अलग-अलग भिन्न

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.4

$\frac{2 x}{\cos^{2} (x)}$ और $\tan (x)$ को मिलाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \tan (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.5

$\cos^{2} (x)$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.6

अलग-अलग भिन्न

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.7

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (x)$ को फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.8

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ को फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.9.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.9.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.10

$\frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.10.1

$\tan (x)$ और $\frac{2 x}{\cos (x)}$ को मिलाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (2 x)}{\cos (x)} \sec (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.10.2

$\frac{\tan (x) (2 x)}{\cos (x)}$ और $\sec (x)$ को मिलाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (2 x) \sec (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.11

अलग-अलग भिन्न

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.12

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (x)$ को फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.13

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ को फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.14.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.14.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.15

$(2 x) \sec (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + (2 x) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.16

$(2 x) \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.16.1

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.16.2

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.16.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.16.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.17

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

चरण 4.6.18

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ को ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

चरण 4.6.19

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$