कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{9}{7}}$ और $g (x) = 3 x^{4} + 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x^{4} + 5 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{9}{7}$ है.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x^{4} + 5 x$ से बदलें.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{7}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 6.2

$9$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 7

$\frac{9}{7}$ और ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

चरण 8

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ को $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ से गुणा करें.

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

चरण 9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

चरण 10

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

घातांक जोड़कर ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ को ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ ले जाएं.

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

चरण 10.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

चरण 10.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

चरण 10.1.4

$- 2$ और $9$ जोड़ें.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

चरण 10.1.5

$7$ को $7$ से विभाजित करें.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

चरण 10.2

$7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

चरण 11

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{4} + 5 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ है.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 12

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{4}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 14

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 15

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 16

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

चरण 17

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

चरण 18.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$3$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

चरण 18.2.2

$5$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

चरण 18.3

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

चरण 18.4

$21 x^{4} + 35 x$ में से $7 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.1

$21 x^{4}$ में से $7 x$ का गुणनखंड करें.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

चरण 18.4.2

$35 x$ में से $7 x$ का गुणनखंड करें.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

चरण 18.4.3

$7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ में से $7 x$ का गुणनखंड करें.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

चरण 18.5

$12 x^{3} + 5$ को $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ से गुणा करें.

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

चरण 18.6

$9$ को $12 x^{3} + 5$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$