कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 1 - x e^{- x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 - x e^{- x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 - x e^{- x}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ है.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

चरण 2.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x e^{- x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ है.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- x}$ है.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.4

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

चरण 5.5

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

चरण 6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

चरण 6.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

चरण 6.3

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

चरण 6.4

$x e^{- x} - e^{- x}$ को $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ से गुणा करें.

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

चरण 6.5

$x e^{- x} - e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$x e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

चरण 6.5.2

$- e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

चरण 6.5.3

$e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$