कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{3}}$ से बदलें.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.9

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.10

$\cos (x^{\frac{1}{3}})$ और $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 2.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt[3]{\sin (x)}$ को ${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \cos (x)$

चरण 3.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \cos (x)$

चरण 3.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

चरण 3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

चरण 3.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \cos (x)$

चरण 3.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \cos (x)$

चरण 3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)$

चरण 3.9

$\frac{1}{3}$ और ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (x)$

चरण 3.10

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ और $\cos (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$

चरण 3.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

अलग-अलग भिन्न

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.1.2

$\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ को ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ में बदलें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

चरण 4.1.3

$\frac{\cos (x)}{3}$ और ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

चरण 4.2

गुणनखंडों को $\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$