कैलकुलस उदाहरण

${(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{3}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ $f' (g (v)) g' (v)$ है, जहाँ $f (v) = v^{3}$ और $g (v) = v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ से बदलें.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}]$ है.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}])$

चरण 3

$\frac{d}{d v} [5 v^{- 2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1

चूंकि $5$ , $v$ के संबंध में स्थिर है, $v$ के संबंध में $5 v^{- 2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ है.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 5 \frac{d}{d v} [v^{- 2}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 5 (- 2 v^{- 3}))$

चरण 3.3

$- 2$ को $5$ से गुणा करें.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 10 v^{- 3})$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 10 v^{- 3} - 3 v^{- 4})$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 4.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 10 \frac{1}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

चरण 4.2.2

$- 10$ और $\frac{1}{v^{3}}$ को मिलाएं.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (\frac{- 10}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

चरण 4.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

चरण 4.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - 3 \frac{1}{v^{4}})$

चरण 4.2.5

$- 3$ और $\frac{1}{v^{4}}$ को मिलाएं.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} + \frac{- 3}{v^{4}})$

चरण 4.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

चरण 5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

चरण 6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 5 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

चरण 7

$5$ और $\frac{1}{v^{2}}$ को मिलाएं.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{5}{v^{2}})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$