कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{x^{2}} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{x^{2}} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x^{2}} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

चरण 4.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 4.3.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

चरण 4.3.2

$e^{x^{2}}$ और $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

चरण 4.3.3

$2$ और $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

चरण 4.3.4

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

गुणनखंडों को $2 e^{x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

चरण 5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

चरण 5.3

गुणनखंडों को $\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$