कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 e^{x} \sqrt{x}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [5 e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

$5 (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$5 (e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 8.3

$e^{x}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 8.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$5 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 9

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$5 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

चरण 10

सरल करें.

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चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

चरण 10.2

$5$ और $\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{5 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{x}$

चरण 10.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 e^{x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$