कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x^{2}}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\sin^{2} (x)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.2.1.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.2.3.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0^{2}}$

चरण 1.1.3.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.4.2

$2 \cos (x)$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.4.3

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.4.4

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x}$

चरण 2

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x}$

चरण 3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 3.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 3.1.2.1.2

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 3.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 3.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 3.1.2.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 3.1.3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

चरण 3.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

चरण 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.6

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.7

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

चरण 3.4

$2 \cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

चरण 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} \cdot 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

चरण 4.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

चरण 4.3

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

चरण 6.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \cos (2 \cdot 0)$

चरण 6.2

$\cos (2 \cdot 0)$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (2 \cdot 0)$

चरण 6.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\cos (0)$

चरण 6.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$1$