कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + y^{2}$ है.

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2

$x^{2} + y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 8

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 9

$y$ और $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.2.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.2.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$y^{3} - x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1.1

$y^{3}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.4.1.2

$- x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.4.1.3

$y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 10.4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = y$ और $b = x$ .

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$