कैलकुलस उदाहरण

$\frac{e^{2 x} + 1}{e^{2 x} - 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{2 x} + 1$ और $g (x) = e^{2 x} - 1$ है.

$\frac{(e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 1] - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{2 x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 4.3.2

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$2 e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 4.5.2

$2$ को $e^{2 x} - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 4.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{2 x} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 5

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 6.2

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 6.3.2

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 6.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x} + 0)}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 6.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$2 e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x})}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 6.5.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} + (- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$2 e^{2 x} e^{2 x}$ में से $2 e^{2 x} e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} + 0 - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.5.1.2

$2 \cdot - 1 e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.5.2.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.5.3

$- 2 e^{2 x}$ में से $2 e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{- 4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

चरण 7.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$e^{2 x}$ को ${(e^{x})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 7.7.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1^{2})}^{2}}$

चरण 7.7.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = e^{x}$ और $b = 1$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}^{2}}$

चरण 7.7.4

उत्पाद नियम को $(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)$ पर लागू करें.

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2} {(e^{x} - 1)}^{2}}$