कैलकुलस उदाहरण

$y = (t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 1$ और $g (t) = e^{t}$ है.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

चरण 2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ $a^{t} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{3} - 7 t^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 3.3

चूंकि $- 7$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 7 t^{2}$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 3.5

$2$ को $- 7$ से गुणा करें.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 3.6

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + 0)$

चरण 3.7

$3 t^{2} - 14 t$ और $0$ जोड़ें.

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

चरण 4.3

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.3.1

$e^{t}$ को $1$ से गुणा करें.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

चरण 4.3.2

$- 7 t^{2} e^{t}$ और $e^{t} (3 t^{2})$ जोड़ें.

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चरण 4.3.2.1

$e^{t}$ ले जाएं.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 3 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

चरण 4.3.2.2

$- 7 t^{2} e^{t}$ और $3 t^{2} e^{t}$ जोड़ें.

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

चरण 4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$

चरण 4.5

गुणनखंडों को $e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$ में पुन: क्रमित करें.

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} - 14 t e^{t} + e^{t}$