कैलकुलस उदाहरण

$(1 + 7 x^{2}) (x - x^{2})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 + 7 x^{2}$ और $g (x) = x - x^{2}$ है.

$(1 + 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$(1 + 7 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(1 + 7 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

चरण 2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

चरण 2.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

चरण 2.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 7 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ है.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

चरण 2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

चरण 2.8

$0$ और $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ जोड़ें.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

चरण 2.9

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x^{2}$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.10

$7$ को $x - x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + 7 \cdot (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.11

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + 7 (x - x^{2}) (2 x)$

चरण 2.12

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + 14 (x - x^{2}) x$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (14 x + 14 (- x^{2})) x$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + (1 + 7 x^{2}) (- 2 x) + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + (1 + 7 x^{2}) (- 2 x) + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6

पदों को मिलाएं.

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चरण 3.6.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 7 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.2

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 7 x^{2} + 1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x + 7 x^{2} (- 2 x) + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.4

$- 2$ को $7$ से गुणा करें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{2} x + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 (x^{1} x^{2}) + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{1 + 2} + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.7

$1$ और $2$ जोड़ें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 x \cdot x + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.8

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 (x^{1} x) + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.9

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 (x^{1} x^{1}) + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 x^{1 + 1} + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 x^{2} + 14 (- x^{2}) x$

चरण 3.6.12

$- 1$ को $14$ से गुणा करें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 x^{2} - 14 x^{2} x$

चरण 3.6.13

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 x^{2} - 14 (x^{1} x^{2})$

चरण 3.6.14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 x^{2} - 14 x^{1 + 2}$

चरण 3.6.15

$1$ और $2$ जोड़ें.

$1 + 7 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} + 14 x^{2} - 14 x^{3}$

चरण 3.6.16

$7 x^{2}$ और $14 x^{2}$ जोड़ें.

$1 + 21 x^{2} - 2 x - 14 x^{3} - 14 x^{3}$

चरण 3.6.17

$- 14 x^{3}$ में से $14 x^{3}$ घटाएं.

$1 + 21 x^{2} - 2 x - 28 x^{3}$

चरण 3.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 28 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x + 1$