कैलकुलस उदाहरण

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{3}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x + 1}{x - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x + 1}{x - 1}$ से बदलें.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x - 1$ है.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.8.3

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

चरण 3.8.4

$3$ को $x - 1 - (x + 1)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

उत्पाद नियम को $\frac{x + 1}{x - 1}$ पर लागू करें.

$\frac{3 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.4.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x - 3 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x - 3 - 3 x - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.5

$3 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$\frac{0 - 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.6

$0$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.7

$- 3$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{- 6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.9

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ को $\frac{6}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.10

घातांक जोड़कर ${(x - 1)}^{2}$ को ${(x - 1)}^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 4.4.10.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2 + 2}}$

चरण 4.4.10.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 4.4.11

$6$ को ${(x + 1)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$