कैलकुलस उदाहरण

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$

चरण 1

अनन्तस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x \leq 0$

चरण 1.2

चूँकि $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ और $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 0$

चरण 1.3

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

चरण 1.3.1.1.2

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

चरण 1.3.1.1.3

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.3.1.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.3.1.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

चरण 1.3.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

चरण 1.3.1.3.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

चरण 1.3.1.3.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

चरण 1.3.1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

चरण 1.3.1.5

$\frac{1}{x}$ को $\frac{1}{e^{x}}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

चरण 1.3.2

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x e^{x}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$0$

चरण 1.4

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = 0$

चरण 1.5

लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय फलनों के लिए कोई तिरछी अनंतस्पर्शी मौजूद नहीं है.

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 1.6

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 0$

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 0$

चरण 2

$x = 1$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{\ln (1)}{e^{1}}$

चरण 2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (1) = \frac{0}{e}$

चरण 2.2.2

$0$ को $e$ से विभाजित करें.

$f (1) = 0$

चरण 2.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 2.3

$0$ को दशमलव में बदलें.

$y = 0$

चरण 3

$x = 2$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

चरण 3.2

अंतिम उत्तर $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ है.

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

चरण 3.3

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ को दशमलव में बदलें.

$y = 0.09380727$

चरण 4

$x = 3$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

चरण 4.2

अंतिम उत्तर $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ है.

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

चरण 4.3

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ को दशमलव में बदलें.

$y = 0.05469668$

चरण 5

लघुगणक फलन को $x = 0$ पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

चरण 6