कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} - x^{3} = 9$ , $(3, - 6)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 3$ और $y = - 6$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (9)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} - x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 y y' - (3 x^{2})$

चरण 1.2.3.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 y y' - 3 x^{2}$

चरण 1.2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 3 x^{2} + 2 y y'$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$- 3 x^{2} + 2 y y' = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3 x^{2}$ जोड़ें.

$2 y y' = 3 x^{2}$

चरण 1.5.2

$2 y y' = 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$2 y y' = 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

चरण 1.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

चरण 1.5.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

चरण 1.5.2.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

चरण 1.5.2.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

चरण 1.7

$x = 3$ और $y = - 6$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$\frac{3 {(3)}^{2}}{2 y}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $- 6$ से बदलें.

$\frac{3 {(3)}^{2}}{2 (- 6)}$

चरण 1.7.3

घातांक जोड़कर $3$ को ${(3)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$3$ को ${(3)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1.1

$3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{2 (- 6)}$

चरण 1.7.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3^{1 + 2}}{2 (- 6)}$

चरण 1.7.3.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3^{3}}{2 (- 6)}$

चरण 1.7.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{27}{2 (- 6)}$

चरण 1.7.4.2

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$\frac{27}{- 12}$

चरण 1.7.5

$27$ और $- 12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$27$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9)}{- 12}$

चरण 1.7.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.2.1

$- 12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot - 4}$

चरण 1.7.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot - 4}$

चरण 1.7.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{9}{- 4}$

चरण 1.7.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{9}{4}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{9}{4}$ और दिए गए बिंदु $(3, - 6)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (- 6) = - \frac{9}{4} \cdot (x - (3))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + 6 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y + 6 = 0 + 0 - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y + 6 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + 6 = - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4} \cdot - 3$

चरण 2.3.1.4

$x$ और $\frac{9}{4}$ को मिलाएं.

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} - \frac{9}{4} \cdot - 3$

चरण 2.3.1.5

$- \frac{9}{4} \cdot - 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + 3 (\frac{9}{4})$

चरण 2.3.1.5.2

$3$ और $\frac{9}{4}$ को मिलाएं.

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{4}$

चरण 2.3.1.5.3

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{27}{4}$

चरण 2.3.1.6

$9$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + 6 = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} - 6$

चरण 2.3.2.2

$- 6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4}$

चरण 2.3.2.3

$- 6$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27 - 6 \cdot 4}{4}$

चरण 2.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27 - 24}{4}$

चरण 2.3.2.5.2

$27$ में से $24$ घटाएं.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{3}{4}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{9}{4} x) + \frac{3}{4}$

चरण 2.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{9}{4} x + \frac{3}{4}$

चरण 3