कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 2$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} + 4$ और $g (x) = y$ है.

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

चरण 1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

चरण 1.2.6.2

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

चरण 1.2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

चरण 1.2.7.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

चरण 1.5.2

$x^{2} y' + 4 y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$x^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

चरण 1.5.2.2

$4 y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

चरण 1.5.2.3

$y' x^{2} + y' \cdot 4$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

चरण 1.5.3

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + 4$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

चरण 1.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$x^{2} + 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

चरण 1.5.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

चरण 1.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

चरण 1.7

$x = 2$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $1$ से बदलें.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

चरण 1.7.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

चरण 1.7.3.2

$4$ और $4$ जोड़ें.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

चरण 1.7.4

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

चरण 1.7.4.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.2.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

चरण 1.7.4.2.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

चरण 1.7.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

चरण 1.7.4.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

चरण 1.7.4.3

$- 1 (\frac{1}{2})$ को $- (\frac{1}{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{1}{2}$ और दिए गए बिंदु $(2, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

चरण 2.3.1.4

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

चरण 2.3.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

चरण 2.3.1.5.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

चरण 2.3.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

चरण 2.3.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = - \frac{x}{2} + 2$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

चरण 2.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

चरण 3