कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin (3 x)$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sin (3 x) d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 3.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 3.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 3.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 3.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 4

$\sin (u)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

सरल करें.

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

चरण 7.2

$\frac{1}{3}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

चरण 9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

चरण 10

उत्तर फलन $f (x) = \sin (3 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$