कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = 4 - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = 4 - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$4 - x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

चरण 3.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 3.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 3.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 3.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

चरण 4

$- (- u + 4) u^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

चरण 4.3

कोष्ठक ले जाएँ.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

चरण 4.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

चरण 4.5

$u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

चरण 4.6

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

चरण 4.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

चरण 4.8

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

चरण 4.9

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

चरण 7

चूँकि $- 4$ बटे $u$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- 4$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

चरण 9.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $4 - x$ से बदलें.

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

चरण 11

उत्तर फलन $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$