कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x + 1}{x - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x + 1}{x - 1}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 2

$\frac{x + 1}{x - 1}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 3

$\frac{x - 1}{x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x - 1$ है.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.6

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.8.3

$\frac{x - 1}{x + 1}$ को $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

चरण 6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

चरण 6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 7.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 7.2.1.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 7.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 7.2.3

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 7.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$