कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = e^{x} + 1$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $e^{x} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $e^{x} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

चरण 4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 4.2.1

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

चरण 4.2.2

$\frac{1}{e^{x} + 1}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$