कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $7 x - 2 x \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

चरण 1.2.3

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ है.

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

चरण 1.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.4

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 1.3.5

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 1.3.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 1.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 1.3.7

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

चरण 1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

चरण 1.4.2.2

$7$ में से $2$ घटाएं.

$5 - 2 \ln (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 - 2 \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

चरण 2.2.3

$- 2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

चरण 2.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

चरण 2.3

$0$ में से $\frac{2}{x}$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

चरण 4.1.2.2

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

चरण 4.1.2.3

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

चरण 4.1.3.2

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3.4

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 4.1.3.5

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 4.1.3.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 4.1.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 4.1.3.7

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

चरण 4.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

चरण 4.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.2.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

चरण 4.1.4.2.2

$7$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $5 - 2 \ln (x)$ है.

$5 - 2 \ln (x)$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $5 - 2 \ln (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$- 2 \ln (x) = - 5$

चरण 5.3

$- 2 \ln (x) = - 5$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 2 \ln (x) = - 5$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

चरण 5.3.2.1.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

चरण 5.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

चरण 5.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = \frac{5}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{5}{2}} = x$

चरण 5.6

समीकरण को $x = e^{\frac{5}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 6.2

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

चरण 8

$x = e^{\frac{5}{2}}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

चरण 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 10

$x = e^{\frac{5}{2}}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $e^{\frac{5}{2}}$ से बदलें.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

$\frac{5}{2}$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

चरण 10.2.1.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

चरण 10.2.1.3

$\frac{5}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

चरण 10.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.4.1

$- 2 e^{\frac{5}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

चरण 10.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

चरण 10.2.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

चरण 10.2.1.5

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

चरण 10.2.2

$7 e^{\frac{5}{2}}$ में से $5 e^{\frac{5}{2}}$ घटाएं.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

चरण 10.2.3

अंतिम उत्तर $2 e^{\frac{5}{2}}$ है.

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

चरण 11

ये $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 12