कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x + \sin (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$1 + \cos (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

चरण 2.3

$0$ में से $\sin (x)$ घटाएं.

$f'' (x) = - \sin (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$1 + \cos (x) = 0$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\cos (x) = - 1$

चरण 5

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (- 1)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

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चरण 6.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $π$ है.

$x = π$

चरण 7

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - π$

चरण 8

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = π$

चरण 9

समीकरण का हल $x = π$ .

$x = π, π$

चरण 10

$x = π$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \sin (π)$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

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चरण 11.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- \sin (0)$

चरण 11.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- 0$

चरण 11.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 12

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

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चरण 12.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

चरण 12.2

पहले व्युत्पन्न $1 + \cos (x)$ में अंतराल $(- \infty, π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

चरण 12.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f' (0) = 1 + 1$

चरण 12.2.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (0) = 2$

चरण 12.2.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 12.3

पहले व्युत्पन्न $1 + \cos (x)$ में अंतराल $(π, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $6$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

चरण 12.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$\cos (6)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

चरण 12.3.2.2

$1$ और $0.96017028$ जोड़ें.

$f' (6) = 1.96017028$

चरण 12.3.2.3

अंतिम उत्तर $1.96017028$ है.

$1.96017028$

चरण 12.4

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = π$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 12.5

$f (x) = x + \sin (x)$ के लिए कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं मिला.

कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं है

चरण 13