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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
को एक फलन के रूप में लिखें.
चरण 2
चरण 2.1
अवकलन करें.
चरण 2.1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.1.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2.3
को से गुणा करें.
चरण 3
चरण 3.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 3.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.2.3
को से गुणा करें.
चरण 3.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 3.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.3.3
को से गुणा करें.
चरण 4
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
चरण 5
चरण 5.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 5.1.1
अवकलन करें.
चरण 5.1.1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 5.1.1.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 5.1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 5.1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 5.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 5.1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 5.2
का पहला व्युत्पन्न बटे , है.
चरण 6
चरण 6.1
पहले व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें.
चरण 6.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 6.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 6.2.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 6.2.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 6.3
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक के बराबर होगा.
चरण 6.4
को के बराबर सेट करें.
चरण 6.5
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
चरण 6.5.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 6.5.2
के लिए हल करें.
चरण 6.5.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें.
चरण 6.5.2.2
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 6.5.2.2.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 6.5.2.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 6.5.2.2.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 6.5.2.2.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 6.5.2.2.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
चरण 6.5.2.4
को सरल करें.
चरण 6.5.2.4.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 6.5.2.4.2
को से गुणा करें.
चरण 6.5.2.4.3
भाजक को मिलाएं और सरल करें.
चरण 6.5.2.4.3.1
को से गुणा करें.
चरण 6.5.2.4.3.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 6.5.2.4.3.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 6.5.2.4.3.4
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 6.5.2.4.3.5
और जोड़ें.
चरण 6.5.2.4.3.6
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 6.5.2.4.3.6.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 6.5.2.4.3.6.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 6.5.2.4.3.6.3
और को मिलाएं.
चरण 6.5.2.4.3.6.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 6.5.2.4.3.6.4.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 6.5.2.4.3.6.4.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 6.5.2.4.3.6.5
घातांक का मान ज्ञात करें.
चरण 6.5.2.4.4
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 6.5.2.4.4.1
रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.
चरण 6.5.2.4.4.2
को से गुणा करें.
चरण 6.5.2.5
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
चरण 6.5.2.5.1
सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए के धनात्मक मान का उपयोग करें.
चरण 6.5.2.5.2
इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.
चरण 6.5.2.5.3
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
चरण 6.6
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो को सिद्ध करते हैं.
चरण 7
चरण 7.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
चरण 8
मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.
चरण 9
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 10
चरण 10.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.1.1
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 10.1.2
को से गुणा करें.
चरण 10.2
में से घटाएं.
चरण 11
एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 12
चरण 12.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 12.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 12.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 12.2.1.1
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 12.2.1.2
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 12.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 12.2.2
और जोड़ें.
चरण 12.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 13
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 14
चरण 14.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 14.1.1
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 14.1.2
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 14.1.2.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 14.1.2.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 14.1.2.3
और को मिलाएं.
चरण 14.1.2.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 14.1.2.4.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 14.1.2.4.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 14.1.2.5
घातांक का मान ज्ञात करें.
चरण 14.1.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 14.1.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 14.1.4.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 14.1.4.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 14.1.4.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 14.1.5
को से गुणा करें.
चरण 14.2
में से घटाएं.
चरण 15
एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 16
चरण 16.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 16.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 16.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 16.2.1.1
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 16.2.1.2
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 16.2.1.2.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 16.2.1.2.1.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 16.2.1.2.1.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 16.2.1.2.1.3
और को मिलाएं.
चरण 16.2.1.2.1.4
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 16.2.1.2.1.4.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 16.2.1.2.1.4.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 16.2.1.2.1.4.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 16.2.1.2.1.4.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.2.1.2.1.4.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 16.2.1.2.1.4.2.4
को से विभाजित करें.
चरण 16.2.1.2.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 16.2.1.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 16.2.1.4
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 16.2.1.4.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 16.2.1.4.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 16.2.1.4.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 16.2.1.4.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.2.1.4.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 16.2.1.5
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 16.2.1.6
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 16.2.1.6.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 16.2.1.6.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 16.2.1.6.3
और को मिलाएं.
चरण 16.2.1.6.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.2.1.6.4.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.2.1.6.4.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 16.2.1.6.5
घातांक का मान ज्ञात करें.
चरण 16.2.1.7
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 16.2.1.8
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 16.2.1.8.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 16.2.1.8.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 16.2.1.8.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 16.2.1.8.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.2.1.8.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 16.2.1.9
गुणा करें.
चरण 16.2.1.9.1
और को मिलाएं.
चरण 16.2.1.9.2
को से गुणा करें.
चरण 16.2.1.10
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 16.2.2
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 16.2.3
प्रत्येक व्यंजक को के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.
चरण 16.2.3.1
को से गुणा करें.
चरण 16.2.3.2
को से गुणा करें.
चरण 16.2.4
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 16.2.5
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 16.2.5.1
को से गुणा करें.
चरण 16.2.5.2
में से घटाएं.
चरण 16.2.6
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 16.2.7
अंतिम उत्तर है.
चरण 17
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 18
चरण 18.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 18.1.1
घातांक वितरण करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 18.1.1.1
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 18.1.1.2
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 18.1.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 18.1.3
को से गुणा करें.
चरण 18.1.4
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 18.1.4.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 18.1.4.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 18.1.4.3
और को मिलाएं.
चरण 18.1.4.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 18.1.4.4.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 18.1.4.4.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 18.1.4.5
घातांक का मान ज्ञात करें.
चरण 18.1.5
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 18.1.6
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 18.1.6.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 18.1.6.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 18.1.6.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 18.1.7
को से गुणा करें.
चरण 18.2
में से घटाएं.
चरण 19
एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 20
चरण 20.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 20.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 20.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 20.2.1.1
घातांक वितरण करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 20.2.1.1.1
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 20.2.1.1.2
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 20.2.1.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 20.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 20.2.1.4
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 20.2.1.4.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 20.2.1.4.1.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 20.2.1.4.1.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 20.2.1.4.1.3
और को मिलाएं.
चरण 20.2.1.4.1.4
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 20.2.1.4.1.4.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 20.2.1.4.1.4.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 20.2.1.4.1.4.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 20.2.1.4.1.4.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 20.2.1.4.1.4.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 20.2.1.4.1.4.2.4
को से विभाजित करें.
चरण 20.2.1.4.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 20.2.1.5
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 20.2.1.6
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 20.2.1.6.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 20.2.1.6.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 20.2.1.6.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 20.2.1.6.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 20.2.1.6.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 20.2.1.7
घातांक वितरण करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 20.2.1.7.1
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 20.2.1.7.2
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 20.2.1.8
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 20.2.1.9
को से गुणा करें.
चरण 20.2.1.10
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 20.2.1.10.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 20.2.1.10.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 20.2.1.10.3
और को मिलाएं.
चरण 20.2.1.10.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 20.2.1.10.4.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 20.2.1.10.4.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 20.2.1.10.5
घातांक का मान ज्ञात करें.
चरण 20.2.1.11
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 20.2.1.12
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 20.2.1.12.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 20.2.1.12.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 20.2.1.12.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 20.2.1.12.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 20.2.1.12.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 20.2.1.13
गुणा करें.
चरण 20.2.1.13.1
और को मिलाएं.
चरण 20.2.1.13.2
को से गुणा करें.
चरण 20.2.1.14
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 20.2.2
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 20.2.3
प्रत्येक व्यंजक को के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.
चरण 20.2.3.1
को से गुणा करें.
चरण 20.2.3.2
को से गुणा करें.
चरण 20.2.4
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 20.2.5
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 20.2.5.1
को से गुणा करें.
चरण 20.2.5.2
में से घटाएं.
चरण 20.2.6
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 20.2.7
अंतिम उत्तर है.
चरण 21
ये के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.
एक स्थानीय उच्चत्तम है
एक स्थानीय निम्नत्तम है
एक स्थानीय निम्नत्तम है
चरण 22