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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
को एक फलन के रूप में लिखें.
चरण 2
चरण 2.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3.2
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.3.2.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 2.3.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.3.2.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 2.3.3
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3.4
को से गुणा करें.
चरण 2.3.5
को से गुणा करें.
चरण 2.4
सरल करें.
चरण 2.4.1
पदों को पुन: व्यवस्थित करें
चरण 2.4.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 2.4.2.1
और को पुन: क्रमित करें.
चरण 2.4.2.2
और को पुन: क्रमित करें.
चरण 2.4.2.3
ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.
चरण 3
चरण 3.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 3.2.1
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 3.2.1.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 3.2.1.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.2.1.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 3.2.2
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.2.3
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.2.4
को से गुणा करें.
चरण 3.2.5
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 3.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 3.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.3.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.3.3
को से गुणा करें.
चरण 4
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
चरण 5
ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.
चरण 6
चरण 6.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 6.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 6.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 7
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक के बराबर होगा.
चरण 8
चरण 8.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 8.2
के लिए हल करें.
चरण 8.2.1
कोज्या के अंदर से निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.
चरण 8.2.2
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 8.2.2.1
का सटीक मान है.
चरण 8.2.3
पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को से घटाएं.
चरण 8.2.4
को सरल करें.
चरण 8.2.4.1
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 8.2.4.2
न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 8.2.4.2.1
और को मिलाएं.
चरण 8.2.4.2.2
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 8.2.4.3
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 8.2.4.3.1
को से गुणा करें.
चरण 8.2.4.3.2
में से घटाएं.
चरण 8.2.5
समीकरण का हल .
चरण 9
चरण 9.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 9.2
के लिए हल करें.
चरण 9.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 9.2.2
ज्या के अंदर से निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.
चरण 9.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 9.2.3.1
का सटीक मान है.
चरण 9.2.4
तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को में जोड़ें.
चरण 9.2.5
दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.
चरण 9.2.5.1
में से घटाएं.
चरण 9.2.5.2
का परिणामी कोण धनात्मक है, से कम है और के साथ कोटरमिनल है.
चरण 9.2.6
समीकरण का हल .
चरण 10
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो को सिद्ध करते हैं.
चरण 11
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 12
चरण 12.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 12.1.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 12.1.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 12.1.1.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 12.1.2
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.
चरण 12.1.3
का सटीक मान है.
चरण 12.1.4
गुणा करें.
चरण 12.1.4.1
को से गुणा करें.
चरण 12.1.4.2
को से गुणा करें.
चरण 12.1.5
का सटीक मान है.
चरण 12.1.6
को से गुणा करें.
चरण 12.2
में से घटाएं.
चरण 13
एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 14
चरण 14.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 14.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 14.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 14.2.1.1
का सटीक मान है.
चरण 14.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 14.2.1.3
का सटीक मान है.
चरण 14.2.1.4
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 14.2.1.5
को से गुणा करें.
चरण 14.2.2
और जोड़ें.
चरण 14.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 15
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 16
चरण 16.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 16.1.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.1.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.1.1.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 16.1.2
का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण से बड़ा या उसके बराबर और से कम न हो जाए.
चरण 16.1.3
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.
चरण 16.1.4
का सटीक मान है.
चरण 16.1.5
गुणा करें.
चरण 16.1.5.1
को से गुणा करें.
चरण 16.1.5.2
को से गुणा करें.
चरण 16.1.6
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.
चरण 16.1.7
का सटीक मान है.
चरण 16.1.8
गुणा करें.
चरण 16.1.8.1
को से गुणा करें.
चरण 16.1.8.2
को से गुणा करें.
चरण 16.2
और जोड़ें.
चरण 17
चरण 17.1
को मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न या अपरिभाषित बनाते हैं.
चरण 17.2
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 17.2.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 17.2.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 17.2.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 17.2.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 17.2.2.1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 17.2.2.1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 17.2.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 17.2.2.2
में से घटाएं.
चरण 17.2.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 17.3
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 17.3.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 17.3.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 17.3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 17.3.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 17.3.2.1.2
का सटीक मान है.
चरण 17.3.2.1.3
का सटीक मान है.
चरण 17.3.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 17.3.2.2
और जोड़ें.
चरण 17.3.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 17.4
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 17.4.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 17.4.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 17.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 17.4.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 17.4.2.1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 17.4.2.1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 17.4.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 17.4.2.2
में से घटाएं.
चरण 17.4.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 17.5
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 17.5.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 17.5.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 17.5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 17.5.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 17.5.2.1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 17.5.2.1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 17.5.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 17.5.2.2
और जोड़ें.
चरण 17.5.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 17.6
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 17.7
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 17.8
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 17.9
ये के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 18