कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} - 16 (2 x) + \frac{d}{d x} [64 x]$

चरण 1.2.3

$2$ को $- 16$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 32 x + \frac{d}{d x} [64 x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [64 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $64$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $64 x$ का व्युत्पन्न $64 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} - 32 x + 64 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} - 32 x + 64 \cdot 1$

चरण 1.3.3

$64$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 32 x + 64$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} - 32 x + 64$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [64]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

चरण 2.2.2

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

चरण 2.2.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 32 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 32$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 32 x$ का व्युत्पन्न $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 6 x - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (64)$

चरण 2.3.2

$f'' (x) = 6 x - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (64)$

चरण 2.3.3

$- 32$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 x - 32 + \frac{d}{d x} (64)$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $64$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $64$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 6 x - 32 + 0$

चरण 2.4.2

$6 x - 32$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 6 x - 32$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{2}) + \frac{d}{d x} (64 x)$

चरण 4.1.1.2

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{2}) + \frac{d}{d x} (64 x)$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (64 x)$

चरण 4.1.2.2

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 (2 x) + \frac{d}{d x} (64 x)$

चरण 4.1.2.3

$2$ को $- 16$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + \frac{d}{d x} (64 x)$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [64 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $64$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $64 x$ का व्युत्पन्न $64 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 4.1.3.2

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64 \cdot 1$

चरण 4.1.3.3

$64$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $3 x^{2} - 32 x + 64$ है.

$3 x^{2} - 32 x + 64$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

चरण 5.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot 64 = 192$ है और जिसका योग $b = - 32$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 32 x$ में से $- 32$ का गुणनखंड करें.

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

चरण 5.2.1.2

$- 32$ को $- 8$ जोड़ $- 24$ के रूप में फिर से लिखें

$3 x^{2} + (- 8 - 24) x + 64 = 0$

चरण 5.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} - 8 x - 24 x + 64 = 0$

चरण 5.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(3 x^{2} - 8 x) - 24 x + 64 = 0$

चरण 5.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x (3 x - 8) - 8 (3 x - 8) = 0$

चरण 5.2.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 8$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(3 x - 8) (x - 8) = 0$

चरण 5.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$3 x - 8 = 0$

$x - 8 = 0$

चरण 5.4

$3 x - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3 x - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x - 8 = 0$

चरण 5.4.2

$x$ के लिए $3 x - 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$3 x = 8$

चरण 5.4.2.2

$3 x = 8$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

$3 x = 8$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

चरण 5.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

चरण 5.4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{8}{3}$

चरण 5.5

$x - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$x - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 8 = 0$

चरण 5.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$x = 8$

चरण 5.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(3 x - 8) (x - 8) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{8}{3}, 8$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \frac{8}{3}, 8$

चरण 8

$x = \frac{8}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$6 (\frac{8}{3}) - 32$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (2) \frac{8}{3} - 32$

चरण 9.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \cdot 2 \frac{8}{3} - 32$

चरण 9.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \cdot 8 - 32$

चरण 9.1.2

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 - 32$

चरण 9.2

$16$ में से $32$ घटाएं.

$- 16$

चरण 10

$x = \frac{8}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{8}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11

$x = \frac{8}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{8}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{8}{3}$ पर लागू करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.2

$8$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.3

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.4

उत्पाद नियम को $\frac{8}{3}$ पर लागू करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 \frac{8^{2}}{3^{2}} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.5

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 \frac{64}{3^{2}} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.6

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 (\frac{64}{9}) + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.7

$- 16 (\frac{64}{9})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.7.1

$- 16$ और $\frac{64}{9}$ को मिलाएं.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 16 \cdot 64}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.7.2

$- 16$ को $64$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 1024}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

चरण 11.2.1.9

$64 (\frac{8}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.9.1

$64$ और $\frac{8}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + \frac{64 \cdot 8}{3}$

चरण 11.2.1.9.2

$64$ को $8$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + \frac{512}{3}$

चरण 11.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$\frac{1024}{9}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{1024}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{512}{3}$

चरण 11.2.2.2

$\frac{1024}{9}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512}{3}$

चरण 11.2.2.3

$\frac{512}{3}$ को $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512}{3} \cdot \frac{9}{9}$

चरण 11.2.2.4

$\frac{512}{3}$ को $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

चरण 11.2.2.5

$9 \cdot 3$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

चरण 11.2.2.6

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{27} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

चरण 11.2.2.7

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{27} + \frac{512 \cdot 9}{27}$

चरण 11.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1024 \cdot 3 + 512 \cdot 9}{27}$

चरण 11.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.4.1

$- 1024$ को $3$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 3072 + 512 \cdot 9}{27}$

चरण 11.2.4.2

$512$ को $9$ से गुणा करें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 3072 + 4608}{27}$

चरण 11.2.5

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.5.1

$512$ में से $3072$ घटाएं.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 2560 + 4608}{27}$

चरण 11.2.5.2

$- 2560$ और $4608$ जोड़ें.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{2048}{27}$

चरण 11.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{2048}{27}$ है.

$y = \frac{2048}{27}$

चरण 12

$x = 8$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$6 (8) - 32$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$6$ को $8$ से गुणा करें.

$48 - 32$

चरण 13.2

$48$ में से $32$ घटाएं.

$16$

चरण 14

$x = 8$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 8$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 15

$x = 8$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $8$ से बदलें.

$f (8) = {(8)}^{3} - 16 {(8)}^{2} + 64 (8)$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

$8$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (8) = 512 - 16 {(8)}^{2} + 64 (8)$

चरण 15.2.1.2

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (8) = 512 - 16 \cdot 64 + 64 (8)$

चरण 15.2.1.3

$- 16$ को $64$ से गुणा करें.

$f (8) = 512 - 1024 + 64 (8)$

चरण 15.2.1.4

$64$ को $8$ से गुणा करें.

$f (8) = 512 - 1024 + 512$

चरण 15.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.2.1

$512$ में से $1024$ घटाएं.

$f (8) = - 512 + 512$

चरण 15.2.2.2

$- 512$ और $512$ जोड़ें.

$f (8) = 0$

चरण 15.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$y = 0$

चरण 16

ये $f (x) = x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{8}{3}, \frac{2048}{27})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(8, 0)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 17