कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 4}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 1.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$x^{- 4}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 1.3.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 4}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 1.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 1.4.2

$1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 4$ है.

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 1.6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 1.6.2.2

$- 4$ और $\frac{1}{x^{5}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 1.6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 1.6.2.4

$\ln (x)$ और $\frac{4}{x^{5}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 1.6.2.5

$4$ को $\ln (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ है.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{5}$ है.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.5

$x^{5}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.6

$x^{5}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.6.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.6.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.6.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.6.2.5

$x^{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.7

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.8

घातांक को ${(x^{5})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.8.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.9

$x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

$1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.9.2

$- 5 \ln (x) x^{4}$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.9.3

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.10

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.1

$x^{10}$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.10.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.11

$- 4$ और $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.2.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{x^{5}}$ को ${(x^{5})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{5}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{5}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

चरण 2.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

चरण 2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{5}$ से बदलें.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

चरण 2.3.3

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

चरण 2.3.4

घातांक को ${(x^{5})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

चरण 2.3.4.2

$5$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

चरण 2.3.5

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

चरण 2.3.6

घातांक जोड़कर $x^{- 10}$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$x^{4}$ ले जाएं.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

चरण 2.3.6.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

चरण 2.3.6.3

$4$ में से $10$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

चरण 2.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

चरण 2.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

चरण 2.4.3.2

$- 5$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

चरण 2.4.3.3

$- 5$ और $\frac{1}{x^{6}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

चरण 2.4.3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

चरण 2.4.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

चरण 2.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

चरण 2.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.5.1

$- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.5.1.1

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

चरण 2.4.5.1.2

$- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

चरण 2.4.5.1.3

$- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ को $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

चरण 2.4.5.2

$5$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

चरण 2.4.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 4.1.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$x^{- 4}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 4.1.3.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 4}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 4.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 4.1.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 4.1.4.2

$1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

चरण 4.1.5

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

चरण 4.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 4.1.6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 4.1.6.2.2

$- 4$ और $\frac{1}{x^{5}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 4.1.6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 4.1.6.2.4

$\ln (x)$ और $\frac{4}{x^{5}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 4.1.6.2.5

$4$ को $\ln (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ है.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{x^{5}}$ घटाएं.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

चरण 5.3

चूंकि समीकरण के प्रत्येक पक्ष के व्यंजक का हर समान होता है, इसलिए भाजक बराबर होने चाहिए.

$- 4 \ln (x) = - 1$

चरण 5.4

$- 4 \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 4 \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 5.4.2.1.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

चरण 5.5

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

चरण 5.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = \frac{1}{4}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{1}{4}} = x$

चरण 5.7

समीकरण को $x = e^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{5} = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \sqrt[5]{0}$

चरण 6.2.2

$\sqrt[5]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ को $0^{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

चरण 6.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 6.3

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 6.4

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

चरण 8

$x = e^{\frac{1}{4}}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\frac{1}{4}$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

चरण 9.1.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

चरण 9.1.3

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

चरण 9.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.1

$- 20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

चरण 9.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

चरण 9.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

चरण 9.1.5

$9$ में से $5$ घटाएं.

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

चरण 9.2

घातांक को ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

चरण 9.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

चरण 9.2.2.2

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

चरण 9.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

चरण 9.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

चरण 9.2.3

$\frac{1}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

चरण 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = e^{\frac{1}{4}}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11

$x = e^{\frac{1}{4}}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $e^{\frac{1}{4}}$ से बदलें.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

घातांक को ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

चरण 11.2.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.2.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

चरण 11.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

चरण 11.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

चरण 11.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

चरण 11.2.3

$\frac{1}{4}$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

चरण 11.2.4

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

चरण 11.2.5

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

चरण 11.2.6

$\frac{1}{e}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

चरण 11.2.7

$4$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

चरण 11.2.8

अंतिम उत्तर $\frac{1}{4 e}$ है.

$y = \frac{1}{4 e}$

चरण 12

ये $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 13