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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.3.3
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 1.3.4
और को मिलाएं.
चरण 1.3.5
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 1.3.6
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 1.3.6.1
को से गुणा करें.
चरण 1.3.6.2
में से घटाएं.
चरण 1.3.7
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 1.3.8
और को मिलाएं.
चरण 1.3.9
और को मिलाएं.
चरण 1.3.10
ऋणात्मक घातांक नियम का उपयोग करके को भाजक में ले जाएँ.
चरण 1.3.11
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.3.12
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 1.3.12.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.3.12.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.3.12.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 1.3.13
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 2
चरण 2.1
अवकलन करें.
चरण 2.1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.1.2
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.2
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 2.2.3
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.2.3.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 2.2.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2.3.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 2.2.4
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2.5
घातांक को में गुणा करें.
चरण 2.2.5.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 2.2.5.2
गुणा करें.
चरण 2.2.5.2.1
और को मिलाएं.
चरण 2.2.5.2.2
को से गुणा करें.
चरण 2.2.5.3
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 2.2.6
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 2.2.7
और को मिलाएं.
चरण 2.2.8
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 2.2.9
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 2.2.9.1
को से गुणा करें.
चरण 2.2.9.2
में से घटाएं.
चरण 2.2.10
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 2.2.11
और को मिलाएं.
चरण 2.2.12
और को मिलाएं.
चरण 2.2.13
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 2.2.13.1
ले जाएं.
चरण 2.2.13.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 2.2.13.3
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 2.2.13.4
में से घटाएं.
चरण 2.2.13.5
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 2.2.14
ऋणात्मक घातांक नियम का उपयोग करके को भाजक में ले जाएँ.
चरण 2.2.15
को से गुणा करें.
चरण 2.2.16
और को मिलाएं.
चरण 2.2.17
को से गुणा करें.
चरण 2.2.18
में से का गुणनखंड करें.
चरण 2.2.19
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 2.2.19.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 2.2.19.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 2.2.19.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 2.3
और जोड़ें.
चरण 3
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
चरण 4
चरण 4.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 4.1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 4.1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.1.3.3
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 4.1.3.4
और को मिलाएं.
चरण 4.1.3.5
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 4.1.3.6
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 4.1.3.6.1
को से गुणा करें.
चरण 4.1.3.6.2
में से घटाएं.
चरण 4.1.3.7
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 4.1.3.8
और को मिलाएं.
चरण 4.1.3.9
और को मिलाएं.
चरण 4.1.3.10
ऋणात्मक घातांक नियम का उपयोग करके को भाजक में ले जाएँ.
चरण 4.1.3.11
में से का गुणनखंड करें.
चरण 4.1.3.12
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 4.1.3.12.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 4.1.3.12.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.1.3.12.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 4.1.3.13
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 4.2
का पहला व्युत्पन्न बटे , है.
चरण 5
चरण 5.1
पहले व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें.
चरण 5.2
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 5.3
समीकरण के पदों का LCD पता करें.
चरण 5.3.1
मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.
चरण 5.3.2
एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.
चरण 5.4
भिन्नों को हटाने के लिए के प्रत्येक पद को से गुणा करें.
चरण 5.4.1
के प्रत्येक पद को से गुणा करें.
चरण 5.4.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.4.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.4.2.1.1
में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.
चरण 5.4.2.1.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.4.2.1.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 5.5
समीकरण को हल करें.
चरण 5.5.1
समीकरण को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 5.5.2
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 5.5.2.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 5.5.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.5.2.2.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.5.2.2.2
को से विभाजित करें.
चरण 5.5.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.5.2.3.1
को से विभाजित करें.
चरण 5.5.3
बाईं ओर के भिन्नात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को की घात तक बढ़ाएँ.
चरण 5.5.4
घातांक को सरल करें.
चरण 5.5.4.1
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.5.4.1.1
को सरल करें.
चरण 5.5.4.1.1.1
घातांक को में गुणा करें.
चरण 5.5.4.1.1.1.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 5.5.4.1.1.1.2
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.5.4.1.1.1.2.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.5.4.1.1.1.2.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 5.5.4.1.1.1.3
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.5.4.1.1.1.3.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.5.4.1.1.1.3.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 5.5.4.1.1.2
सरल करें.
चरण 5.5.4.2
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.5.4.2.1
को सरल करें.
चरण 5.5.4.2.1.1
व्यंजक को सरल बनाएंं.
चरण 5.5.4.2.1.1.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 5.5.4.2.1.1.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 5.5.4.2.1.2
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.5.4.2.1.2.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.5.4.2.1.2.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 5.5.4.2.1.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 5.5.5
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
चरण 5.5.5.1
सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए के धनात्मक मान का उपयोग करें.
चरण 5.5.5.2
इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.
चरण 5.5.5.3
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
चरण 6
चरण 6.1
घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम लागू करें.
चरण 6.2
में भाजक को के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.
चरण 6.3
के लिए हल करें.
चरण 6.3.1
समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.
चरण 6.3.2
समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.
चरण 6.3.2.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 6.3.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 6.3.2.2.1
घातांक को में गुणा करें.
चरण 6.3.2.2.1.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 6.3.2.2.1.2
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 6.3.2.2.1.2.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 6.3.2.2.1.2.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 6.3.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 6.3.2.3.1
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 6.3.3
के लिए हल करें.
चरण 6.3.3.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
चरण 6.3.3.2
को सरल करें.
चरण 6.3.3.2.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 6.3.3.2.2
धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.
चरण 6.3.3.2.3
जोड़ या घटाव , है.
चरण 7
मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.
चरण 8
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 9
चरण 9.1
ऋणात्मक घातांक नियम का उपयोग करके को भाजक में ले जाएँ.
चरण 9.2
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 9.2.1
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 9.2.2
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 9.2.3
और को मिलाएं.
चरण 9.2.4
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 9.2.5
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 9.2.5.1
को से गुणा करें.
चरण 9.2.5.2
में से घटाएं.
चरण 9.3
भाजक को सरल करें.
चरण 9.3.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 9.3.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 9.3.3
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.3.3.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.3.3.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 9.3.4
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10
एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 11
चरण 11.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 11.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 11.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 11.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 11.2.1.2
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 11.2.1.3
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 11.2.1.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 11.2.1.4.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 11.2.1.4.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 11.2.1.5
घातांक का मान ज्ञात करें.
चरण 11.2.1.6
को से गुणा करें.
चरण 11.2.2
में से घटाएं.
चरण 11.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 12
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 13
चरण 13.1
भाजक को सरल करें.
चरण 13.1.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 13.1.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 13.1.3
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 13.1.3.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 13.1.3.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 13.1.4
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 13.2
सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.
चरण 13.2.1
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 13.2.1.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 13.2.1.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 13.2.1.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 13.2.1.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 13.2.1.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 13.2.2
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 14
एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 15
चरण 15.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 15.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 15.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 15.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 15.2.1.2
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 15.2.1.3
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 15.2.1.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 15.2.1.4.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 15.2.1.4.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 15.2.1.5
घातांक का मान ज्ञात करें.
चरण 15.2.1.6
को से गुणा करें.
चरण 15.2.2
और जोड़ें.
चरण 15.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 16
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 17
चरण 17.1
व्यंजक को सरल बनाएंं.
चरण 17.1.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 17.1.2
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 17.2
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 17.2.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 17.2.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 17.3
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 17.4
व्यंजक में से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
अपरिभाषित
चरण 18
चरण 18.1
को मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न या अपरिभाषित बनाते हैं.
चरण 18.2
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 18.2.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 18.2.2
अंतिम उत्तर है.
चरण 18.3
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 18.3.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 18.3.2
अंतिम उत्तर है.
चरण 18.4
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 18.4.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 18.4.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 18.4.2.1
कोष्ठक हटा दें.
चरण 18.4.2.2
अंतिम उत्तर है.
चरण 18.5
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 18.5.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 18.5.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 18.5.2.1
कोष्ठक हटा दें.
चरण 18.5.2.2
अंतिम उत्तर है.
चरण 18.6
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 18.7
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.
स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं
चरण 18.8
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 18.9
ये के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.
एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 19